回路計算 - ブール代数

概要

ブール代数は、19世紀にジョージ・ブールによって考案された数学的体系であり、論理演算の基礎となる重要な代数体系である。

ブール代数の概念は、値として0 (偽)と 1 (真) のみを扱い、これらの値に対して論理演算を適用することである。
主要な演算として、論理和 (OR、+で表記)、論理積 (AND、・で表記)、否定 (NOT、上線で表記) がある。
これらの演算を組み合わせることにより、複雑な論理関係を表現することができる。

交換則、結合則、分配則等があり、これらの法則を適用することにより、複雑な論理式を簡単化、等価な式に変換することができる。
例えば、$A+A\cdot B=A$ という吸収則を用いる場合、冗長な論理式を簡略化することができる。

ブール代数の応用例として、デジタル回路の設計がある。
論理ゲート (AND、OR、NOT等) を組み合わせることで、加算器や記憶素子 (RS-FF) 等の複雑な回路を構築することができる。

例えば、半加算器は次の論理式で表現できる。

• $S=A\oplus B$ (和)
• $C=A\cdot B$ (桁上げ)

また、プログラミングにおいても、条件分岐や真偽値の判定にブール代数の概念が使用されているす。
データベースの検索条件の組み立てや正規表現のパターンマッチング等も、ブール代数の原理に基づいている。

ブール代数の重要な概念として、双対性がある。
任意のブール式において、ANDとORを入れ替え、0と1を入れ替えると、等価な式が得られる。
これはド・モルガンの法則 ${\overline {A+B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}$ に代表される性質である。

カルノー図やクワイン・マクラスキー法等のブール式の簡単化手法も開発されており、
これらの手法を使用することで、複雑な論理回路を最適化してハードウェアの実装コストを削減することができる。

双対論理式

双対論理式は、元の論理式に対して、以下に示す変換を行って得られる式である。

• 全ての0と1を入れ替える。

  $0\rightarrow 1,\,\,1\rightarrow 0$
  

• 全ての論理和 (+) と 論理積 (・) を入れ替える。

  $\cdot \rightarrow +,\,\,+\rightarrow \cdot$
  

• 変数 (A, B, C等) はそのままにする。

式 $X$ の双対論理式は $X^{d}$ と表す。

例えば、$(x+y)\cdot z$ の双対論理式は、$x\cdot y+z$ になる。

例題 1:

次の論理式について考える。
$X=A+A\cdot B$

この式の双対論理式は、$X^{d}=A\cdot (A+B)$ となる。

これは吸収則により、どちらもAに簡単化できる。

例題 2:

$X=(A+B)\cdot (A+C)+1$

この式の双対論理式は、$X^{d}=(A\cdot B)+(A\cdot C)\cdot 0$

ある論理式が恒真 (常に1) であれば、その双対論理式は恒偽 (常に0) となる。
これは、双対性の重要な性質の1つである。

ド・モルガンの法則も双対性の観点から理解することができる。
これらの式は互いに双対の関係にあり、片方が成り立てば必然的にもう片方も成り立つ。

• ${\overline {A+B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}$
• ${\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}$

実際の回路設計では、この双対性を利用することにより、NANDゲートのみで構成された回路をNORゲートのみの回路に変換することや、その逆を行うことができる。
これは製造プロセスや性能要件に応じて、最適なゲート構成を選択する場合に役立つ。

ブール代数の公式

交換則	$A+B=B+A$ $A\cdot B=B\cdot A$
結合則	$A+(B+C)=(A+B)+C$ $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
分配則	構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(B + C) = AB + AC} $A+BC=(A+B)(A+C)$
恒等則	$A+1=1$ $A\cdot 1=A$ $A+0=A$ $A\cdot 0=0$
同一則	$A\cdot A=A$ $A+A=A$
補元則	$A\cdot {\overline {A}}=0$ $A+{\overline {A}}=1$
吸収則	$A+A\cdot B=A$ $A\cdot (A+B)=A$
ド・モルガンの法則	${\overline {A+B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}$ ${\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}$